En este
juego hay un gato y un ratón situados en
las casillas marcadas con su nombre en el tablero.
Siguiendo
su instinto, el gato quiere cazar al ratón y éste intenta escaparse. No
obstante, ambos animales establecen unas reglas de juego.
Cada
uno de los dos pasa a una casilla
contigua en horizontal o vertical (pero no en diagonal) al azar y simultáneamente
.
- El gato se desplaza hacia la derecha o hacia arriba.
p(ir
a la dcha)= p(ir hacia arriba)=1/2
- El ratón lo hace hacia abajo o hacia la izquierda.
p(ir
a la izqda)= p(ir hacia abajo)=1/2
Si en algún momento de su
recorrido coinciden en la misma casilla, el gato se come al ratón; si
intercambian sus posiciones sin coincidir en ningún momento, el ratón se salva.
¿Cuál es la probabilidad que el gato
celebre un festín? ¿Y de que el ratón se salve?
SOLUCIÓN. Al
moverse ambos animales simultáneamente, los únicos puntos de encuentro posible
son los de la diagonal principal del cuadrado.
En el caso 3x3, son 3 las casillas en que el ratón y el gato se pueden encontrar
(marcadas con una aspa roja). Para llegar a ellas, ambos han de dar dos pasos, es decir, moverse dos
casillas. Distingamos los casos posibles:
CASO 1 El gato y el ratón
se encuentran en la esquina superior.
En este caso, el gato sólo podrá
haber avanzado los dos pasos hacia arriba y el ratón sólo haberlo hecho hacia
la izquierda.
p(gato acabe en X1)=p(ir el primer paso hacia arriba e ir el
segundo paso hacia arriba)= = 1/2 · 1/2 =1/4
p(ratón acabe en X1)=p(ir el primer paso hacia la izqda e ir
el segundo paso hacia la izqda)= 1/2 · 1/2 =1/4
PROBABILIDAD DE ENCUENTRO EN X1 = p (gato y el ratón acaben en X1)
= p(gato acabe en X1)· p(ratón acabe
en X1)= 1/4 · 1/4 = 1/16
CASO 2 El gato y el ratón
se encuentran en la esquina inferior.
En este caso, el gato sólo podrá
haber avanzado los dos pasos hacia la derecha y el ratón sólo haberlo hecho
hacia abajo.
p(gato acabe en X3)=p(ir el primer paso hacia la dcha e ir el
segundo paso hacia la dcha)= 1/2 · 1/2 =1/4
p(ratón acabe en X3)=p(ir el primer paso hacia abajo e ir el
segundo paso hacia abajo)= = 1/2 · 1/2 =1/4
PROBABILIDAD DE ENCUENTRO EN X3= p (gato y el ratón acaben en X3) =
p(gato acabe en X3)· p(ratón acabe
en X3)= 1/4 · 1/4 = 1/16
CASO 3 El gato y el ratón
se encuentran en la casilla central.
En este caso, el gato podrá haber
avanzado arriba-derecha o derecha-arriba y el ratón podrá haber ido
izquierda-abajo o abajo-izquierda, es decir, cada animal tiene dos posibles
caminos para llegar ahí.
p(gato acabe en X2)=p(ir el primer paso hacia arriba e ir el
segundo paso hacia la dcha)+ p(ir el primer paso hacia la dcha e ir el segundo
paso hacia arriba)= (1/2 · 1/2) + (1/2 · 1/2) =1/4 + 1/4 =1/2
Análogamente,
p(ratón acabe en X2)=p(ir el primer paso hacia la izqda e ir el
segundo paso hacia la abajo) +p(ir el primer paso hacia abajo e ir el segundo paso hacia la izqda)= (1/2 · 1/2)
·2 =1/2
PROBABILIDAD DE ENCUENTRO EN X2 = p (gato y el ratón acaben en X2)
= p(gato acabe en X2)· p(ratón acabe en X2)= 1/2 · 1/2 = 1/4
Por tanto, en el conjunto de las
tres casillas de posible encuentro la probabilidad es de 1/16 + 1/16 + 1/4 =1/16
+ 1/16 + 4/16 = 6/16= 3/8 (o del 37,50%) siendo ésta la probabilidad que el
gato se coma al ratón. Luego la probabilidad de que se salve el ratón es de 10/16=5/8
(o del 62,50%).
Ahora, repitiendo el razonamiento
podemos ampliar el tablero y ver qué sucede en una cuadrícula 4 x4, luego 5x 5
y así sucesivamente. Se puede comprobar que al aumentar el tamaño, la probabilidad de que el ratón se salve
crece de forma significativa.