LA PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS

La paradoja del cumpleaños puede ser formulada de diferentes maneras, pero en cualquier caso se trata de encontrar la probabilidad en una situación dada, y el resultado se presenta como sorprendente y contradictorio a nuestra intuición.

ENUNCIADO A. En una reunión hay N personas que se han juntado de forma casual. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día (es decir, que hayan nacido el mismo día del mismo mes)?  De un modo más concreto, ¿Cuántas personas tiene que haber para que esta probabilidad sea de 1/2  (o del 50%)?

SOLUCIÓN A. Empecemos reflexionando de forma lógica. ¿Cuántas personas serán necesarias para poder asegurar que hay dos cuyos cumpleaños coinciden? Con 367 personas basta, porque cada una de las 366 primeras puede cumplir años en un día diferente del año (incluyendo el 29 de febrero), pero la persona que ocupa el lugar 367 no tendrá más remedio que cumplir años el mismo día que alguna de las anteriores. Sin tener en cuenta los años bisiestos (de ahora en adelante) basta con 366 personas.

¿Cuándo será la probabilidad del 50%? Parece “obvio” responder que la mitad de personas, es decir, 183, pero debemos encontrar razones que lo justifiquen, la intuición a veces nos juega malas pasadas.

Pasemos a la acción. Hagamos algunos cálculos.

Suponemos que el año tiene 365 días y hallamos la probabilidad de que no haya coincidencias, que es más sencillo. Luego, restando de 1 (o de 100 si es porcentaje) tendremos la probabilidad buscada. 

Consideramos un grupo de N personas. Seleccionamos una al azar, que puede cumplir años en cualquiera de los 365 días, lo mismo sucede con la segunda, con la tercera y con todas las demás personas hasta completar las N personas. Luego el número de casos posibles que pueden darse es:

CP (casos posibles)= 365· 365·365·…·365= 365^N

Veamos en cuántos de estos 365^N casos posibles no hay coincidencias en los cumpleaños. Para ello contamos en cuántos  no se repite una fecha de cumpleaños. ¿Cuál es el número de formas posibles de elegir fechas de nacimiento de N personas sin que ninguno de los cumpleaños coincida?

Pues la primera persona podrá haber nacido en cualquiera de los 365 días del año, para la segunda elegiremos cualquier otra fecha menos el día de nacimiento de la primera, es decir, tiene 364 posibles días en los que nacer, para la tercera hay 363 formas de elegir la fecha de nacimiento… hasta la N-ésima persona que podrá cumplir años en 365-(N-1) días.

Por tanto, el número de formas posibles de elegir fechas de nacimiento de N personas sin que ninguno de los cumpleaños coincida es:

Aplicando la regla de Laplace, la probabilidad de que ningún par de cumpleaños coincida es:

Como lo que queríamos averiguar era la probabilidad del suceso contrario (que haya al menos dos personas cuyos cumpleaños coincidan), su valor será:

Al calcular el valor de [1] para distintos valores de N salen resultados que nos sorprenderán. Por ejemplo, cuando N= 50 se obtiene p =0,97, esto es, en un grupo de personas hay un 97% de posibilidades de que haya dos que cumplan años el mismo día. Para N=23, p=0,507: en un grupo de 23 personas hay una probabilidad superior al 50% (exactamente del 50,7%) de que por lo menos coincidan dos  cumpleaños.

En la siguiente tabla se expresan los valores de la probabilidad según los diferentes valores de N:

La tabla nos indica que con grupos de 60 personas existe “casi” la seguridad de que al menos habrá dos que cumplan años el mismo día, no obstante sólo podemos estar seguros en grupos de 366 personas.

ENUNCIADO B. Ahora no se trata de que haya dos personas nacidas el mismo día, sino de que haya alguien cuyo cumpleaños coincida con el mío. ¿Cuántas personas tienen que haber para que la probabilidad supere el 50%?

SOLUCIÓN B. En este caso la coincidencia es mucho más difícil. La probabilidad de que uno NO comparta cumpleaños con otro es 364/365, por lo que si hay N personas en la sala, la probabilidad de que mi cumpleaños no coincida con ninguno de las personas presentes es  (364/365)^N-1.

Por tanto, la probabilidad de que SÍ haya alguien con mi mismo cumpleaños es:

p = 1 -(364/365)^N-1

Buscamos que p sea al menos 0.5, lo que no se logra esta vez cuando N=23 como antes (para este valor de N, p =0.058571, menos del 6%), sino que se alcanza para N = 254 personas, en cuyo caso p = 0.5005. Este resultado de N está más próximo a nuestra intención que el caso anterior. ¡Antes sólo habíamos pensado en nuestro propio cumpleaños!

Esta situación es extrapolable a fiestas o eventos con muchos desconocidos, así cuando pensemos que no conoceremos a nadie, sólo tenemos que recordar esta paradoja.