LA FUENTE ROMANA Y EL TRIÁNGULO DE PASCAL

Consideremos el siguiente juego:

Una ficha puede avanzar a partir del punto rojo en las direcciones indicadas por las flechas, avanzará a la izquierda si el resultado de lanzar un dado es 1,2, 3 o 4 y avanzará a la derecha si el resultado es 5 o 6. Se pide:

a) ¿Cuántos caminos distintos puede seguir la ficha hasta el final?


b) ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de ellos?

SOLUCIÓN:

a)   El número de caminos para llegar a cada uno de los círculos es el que se obtiene mediante el triángulo del margen. Obsérvese que dicho triángulo es idéntico al triángulo de Pascal. El número total de caminos diferentes para llegar a la fila marcada con letras es:

              1 + 4 + 6 + 4 +1 = 16

 b) La probabilidad de tomar cualquier camino de la izquierda es 

                    p= 4/6 = 2/3 , y de la derecha es   q = 2/6 = 1/3

La probabilidad de cada camino dependerá de cuántas veces vayamos hacia la derecha y cuántas hacia la izquierda. Por ejemplo, todos los caminos que llevan a D están formados por tres avances a la derecha y uno a la izquierda. Por tanto, la probabilidad del camino señalado que nos lleva a D es:

p (un camino para llegar a D)= p(3 avances a la dcha y 1 avance a la izqda) =
                                               = 1/3 · 1/3 · 1/3· 2/3=  (1/3)³· 2/3

 De modo análogo, calculamos las probabilidades de un camino para los restantes destinos:

p (un camino para llegar a A) =(2/3)⁴

p (un camino para llegar a B) = (2/3⁾³ · 1/3

p (un camino para llegar a C) = (2/3)²· (1/3)²

p (un camino para llegar a E) = (1/3)⁴

Fuente: Algoritmo. Matemáticas 1º Bachillerato. SM

Para terminar, mencionar que una  idea análoga a la del triángulo de Pascal la proporciona la fuente romana. En la pila superior, el agua cae a razón de una unidad. El agua se desborda por los dos lados de la pila, en este caso, simétricamente a razón de 1/2 por cada lado (no sucedía lo mismo en el avance de la ficha del juego anterior), y cae en las pilas situadas debajo de la primera. El proceso se repite, de manera que el agua cae según una razón proporcional a la fila correspondiente del triángulo de Pascal.