RATÓN QUE TE PILLA EL GATO

En este juego  hay un gato y un ratón situados en las casillas marcadas con su nombre en el tablero. 

Siguiendo su instinto, el gato quiere cazar al ratón y éste intenta escaparse. No obstante, ambos animales establecen unas reglas de juego.

Cada uno de los dos  pasa a una casilla contigua en horizontal o vertical (pero no en diagonal) al azar y simultáneamente . 

       -            El gato se desplaza hacia la derecha o hacia arriba.

p(ir a la dcha)= p(ir hacia arriba)=1/2

       -             El ratón lo hace hacia abajo o hacia la izquierda.

p(ir a la izqda)= p(ir hacia abajo)=1/2

Si en algún momento de su recorrido coinciden en la misma casilla, el gato se come al ratón; si intercambian sus posiciones sin coincidir en ningún momento, el ratón se salva. ¿Cuál es la probabilidad que el gato celebre un festín? ¿Y de que el ratón se salve?

SOLUCIÓN.   Al moverse ambos animales simultáneamente, los únicos puntos de encuentro posible son los de la diagonal principal del cuadrado.  En el caso 3x3, son 3 las casillas en que el ratón y el gato se pueden encontrar (marcadas con una aspa roja). Para llegar a ellas, ambos  han de dar dos pasos, es decir, moverse dos casillas. Distingamos los casos posibles:

CASO 1 El gato y el ratón se encuentran en la esquina superior.

En este caso, el gato sólo podrá haber avanzado los dos pasos hacia arriba y el ratón sólo haberlo hecho hacia la izquierda.

p(gato acabe en  X1)=p(ir el primer paso hacia arriba e ir el segundo paso hacia arriba)= = 1/2 · 1/2 =1/4

p(ratón acabe en  X1)=p(ir el primer paso hacia la izqda e ir el segundo paso hacia la izqda)= 1/2 · 1/2 =1/4

PROBABILIDAD DE ENCUENTRO EN X1 = p (gato y el ratón acaben en X1) = p(gato acabe en  X1)· p(ratón acabe en  X1)= 1/4 · 1/4 = 1/16

CASO 2 El gato y el ratón se encuentran en la esquina inferior.

En este caso, el gato sólo podrá haber avanzado los dos pasos hacia la derecha y el ratón sólo haberlo hecho hacia abajo.

p(gato acabe en  X3)=p(ir el primer paso hacia la dcha e ir el segundo paso hacia la dcha)= 1/2 · 1/2 =1/4

p(ratón acabe en  X3)=p(ir el primer paso hacia abajo e ir el segundo paso hacia abajo)= = 1/2 · 1/2 =1/4

PROBABILIDAD DE ENCUENTRO EN X3= p (gato y el ratón acaben en X3) = p(gato acabe en  X3)· p(ratón acabe en  X3)= 1/4 · 1/4 = 1/16

CASO 3 El gato y el ratón se encuentran en la casilla central.

En este caso, el gato podrá haber avanzado arriba-derecha o derecha-arriba y el ratón podrá haber ido izquierda-abajo o abajo-izquierda, es decir, cada animal tiene dos posibles caminos para llegar ahí.

p(gato acabe en  X2)=p(ir el primer paso hacia arriba e ir el segundo paso hacia la dcha)+ p(ir el primer paso hacia la dcha e ir el segundo paso hacia arriba)= (1/2 · 1/2) + (1/2 · 1/2)  =1/4 + 1/4 =1/2

Análogamente,

p(ratón acabe en  X2)=p(ir el primer paso hacia la izqda e ir el segundo paso hacia la abajo) +p(ir el primer paso hacia abajo  e ir el segundo paso hacia la izqda)= (1/2 · 1/2) ·2 =1/2

PROBABILIDAD DE ENCUENTRO EN X2 = p (gato y el ratón acaben en X2) = p(gato acabe en  X2)· p(ratón acabe en  X2)= 1/2 · 1/2 = 1/4

Por tanto, en el conjunto de las tres casillas de posible encuentro la probabilidad es de 1/16 + 1/16 + 1/4 =1/16 + 1/16 + 4/16 = 6/16= 3/8 (o del 37,50%) siendo ésta la probabilidad que el gato se coma al ratón. Luego la probabilidad de que se salve el ratón es de 10/16=5/8 (o del 62,50%).

Ahora, repitiendo el razonamiento podemos ampliar el tablero y ver qué sucede en una cuadrícula 4 x4, luego 5x 5 y así sucesivamente. Se puede comprobar que al aumentar el tamaño, la probabilidad de que el ratón se salve crece de forma significativa.