La paradoja del cumpleaños puede
ser formulada de diferentes maneras, pero en cualquier caso se trata de
encontrar la probabilidad en una situación dada, y el resultado se presenta
como sorprendente y contradictorio a nuestra intuición.
ENUNCIADO A. En una reunión hay N personas que se han juntado de
forma casual. ¿Cuál es la probabilidad de
que al menos dos de ellas celebren su cumpleaños el mismo día (es decir, que
hayan nacido el mismo día del mismo mes)? De un modo más concreto, ¿Cuántas personas tiene que haber para que
esta probabilidad sea de 1/2 (o del
50%)?
SOLUCIÓN A. Empecemos
reflexionando de forma lógica. ¿Cuántas personas
serán necesarias para poder asegurar que hay dos cuyos cumpleaños coinciden?
Con 367 personas basta, porque cada una de las 366 primeras puede cumplir años
en un día diferente del año (incluyendo el 29 de febrero), pero la persona que
ocupa el lugar 367 no tendrá más remedio que cumplir años el mismo día que
alguna de las anteriores. Sin tener en cuenta los años bisiestos (de ahora en
adelante) basta con 366 personas.
¿Cuándo será la probabilidad del 50%? Parece “obvio” responder que
la mitad de personas, es decir, 183, pero debemos encontrar razones que lo
justifiquen, la intuición a veces nos juega malas pasadas.
Pasemos a la acción. Hagamos
algunos cálculos.
Suponemos que el año tiene 365
días y hallamos la probabilidad de que no haya coincidencias, que es más
sencillo. Luego, restando de 1 (o de 100 si es porcentaje) tendremos la
probabilidad buscada.
Consideramos un grupo de N
personas. Seleccionamos una al azar, que puede cumplir años en cualquiera de
los 365 días, lo mismo sucede con la segunda, con la tercera y con todas las
demás personas hasta completar las N personas. Luego el número de casos
posibles que pueden darse es:
CP
(casos posibles)= 365· 365·365·…·365= 365N
Veamos en cuántos de estos 365N
casos posibles no hay coincidencias en los cumpleaños. Para ello contamos en
cuántos no se repite una fecha de
cumpleaños. ¿Cuál es el número de formas posibles de elegir fechas de nacimiento de
N personas sin que ninguno de los cumpleaños coincida?
Pues la primera persona podrá
haber nacido en cualquiera de los 365 días del año, para la segunda elegiremos
cualquier otra fecha menos el día de nacimiento de la primera, es decir, tiene
364 posibles días en los que nacer, para la tercera hay 363 formas de elegir la
fecha de nacimiento… hasta la N-ésima persona que podrá cumplir años en
365-(N-1) días.
Por tanto, el número de formas
posibles de elegir fechas de nacimiento de N personas sin que ninguno de los
cumpleaños coincida es:
Aplicando la regla de Laplace, la
probabilidad de que ningún par de cumpleaños coincida es:
Como lo que queríamos averiguar
era la probabilidad del suceso contrario (que haya al menos dos personas cuyos
cumpleaños coincidan), su valor será:
Al calcular el valor de [1] para
distintos valores de N salen resultados que nos sorprenderán. Por ejemplo, cuando N= 50 se
obtiene p =0,97, esto es, en un grupo de personas hay un 97% de posibilidades
de que haya dos que cumplan años el mismo día. Para N=23, p=0,507: en un grupo de
23 personas hay una probabilidad superior al 50% (exactamente del 50,7%) de que
por lo menos coincidan dos cumpleaños.
En la siguiente tabla se expresan
los valores de la probabilidad según los diferentes valores de N:
La tabla nos indica que con grupos
de 60 personas existe “casi” la
seguridad de que al menos habrá dos que cumplan años el mismo día, no obstante
sólo podemos estar seguros en grupos de 366 personas.
ENUNCIADO B. Ahora no se
trata de que haya dos personas nacidas el mismo día, sino de que haya alguien
cuyo cumpleaños coincida con el mío. ¿Cuántas
personas tienen que haber para que la probabilidad supere el 50%?
SOLUCIÓN B. En este caso la
coincidencia es mucho más difícil. La probabilidad de que uno NO comparta
cumpleaños con otro es 364/365, por lo que si hay N personas en la sala, la
probabilidad de que mi cumpleaños no coincida con ninguno de las personas presentes es
(364/365)N-1.
Por tanto, la probabilidad de que SÍ haya alguien con mi mismo cumpleaños es:
p =
1 -(364/365)N-1
Buscamos
que p sea al menos 0.5, lo que no se logra esta vez cuando N=23 como antes
(para este valor de N, p =0.058571, menos del 6%), sino que se alcanza para N =
254 personas, en cuyo caso p = 0.5005. Este resultado de N está más próximo a nuestra
intención que el caso anterior. ¡Antes sólo habíamos pensado en nuestro propio
cumpleaños!
Esta situación es extrapolable a
fiestas o eventos con muchos desconocidos, así cuando pensemos que no conoceremos a nadie, sólo tenemos que recordar esta paradoja.
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